배우는자의 수학기 — 연속성(Continuity)
그래프의 연속성(Continuity)
# 함수, # 연속성, #Continuity
오늘 한일:
어제까지 함수의 극한(limit)개념에 대한 리뷰를 했다. 극한에 대한 공부를 하다보니, 특히 종합극한(overall limit)의 존재가 그래프의 연속성(Continuity)에 영향을 받는다는 것을 깨달았다. 연속성이 있느냐에 따라, 종합극한이 존재할수도 있고, 아닐수도 있기 때문이다. 그렇다면, 그래프의 연속성이란 무엇일까?
그래프의 연속성(Continuity)
그래프의 연속성을 쉽게 말하자면, 한마디로 “그래프가 계속 이어지는가 아닌가?”에 대한 답이라 할 수 있다.
기본적으로, “함수’f(x)’는 ‘x=a’에 극한이 존재하고, 그 값이 f(a)와 같을 때, ‘x=a’ 지점에서 연속적이다”고 말할 수 있다. 즉, 아래와 같다.
- lim f(x) [x->a] = f(a)이면, x는 a에서(x=a)연속적이다.
그러나, 만약 ‘x’가 ‘a’일때 극한이 존재하지 않거나, f(a)가 존재하지 않는다면 a는 연속적이지 않다.
- lim f(x) [x -> a] 나 f(a)가 존재하지 않을 경우, f(x)는 ‘x=a’에서 연속적이지 않다.
우연속성(right-continuous)
함수나 그래프가 오른쪽이나 왼쪽에서만 연속성을 가지는 경우도 있다. 일반적으로, ‘x->a+’ 즉, 오른쪽에서 ‘x’가 ‘a’로 접근할때 극한의 값이 f(a)의 값과 같다면, 해당함수는 ‘x=a’에서 우연속성(오른쪽에서 연속성)을 가진다고 할 수 있다.
- lim f(x) [x -> a+] = f(a)이면, x는 a에서(x=a) 우연속적이다.
오연속성(left-continuous)
그렇다면 반대로 오른쪽에서만 연속성을 가지는 경우는 어떨까? 반대로 생각하면된다. ‘x->a-’ 즉, 왼쪽에서 ‘x가 ‘a’로 접근할 때, 극한의 값이 f(a)의 값과 같다면, 해당함수는 ‘x=a’에서 오연속성(왼쪽에서 연속성)을 가진다고 할 수 있다.
- lim f(x) [x -> a-] = f(a)이면, x는 a에서(x=a) 오연속적이다.
불연속성(Discontinuity)
그래프의 불연속성을 결정하는 조건에는 2가지가 있다. ‘x->a+’의 극한과 ‘x->a-]의 극한이 같은지, 또한 ‘x->a’의 극한이 ‘f(x=a)’의 값과 같은지 말이다. 즉, 아래의 조건들을 말한다.
- lim f(x) [x -> a+] = lim f(x) [x -> a-]
2. lim f(x) [x -> a] = f(a)
제거가능한 불연속(Removable Discontinuity)
만약 이 중 1의 조건을 만족하면서, 2의 조건을 만족하지 않는다면, 이 경우 ‘x=a’에서 ‘f(x)’함수는 제거가능한 불연속(removable discontinuity)성을 가진다고 볼 수 있다. 이때에는 ‘x=a+’의 극한과 ‘x=a-’의 극한이 같기 때문에 종합극한이 존재한다고 볼 수 있다.
- lim f(x) [x->a+] = lim f(x) [x->a-] != f(a)이면, ‘x=a’에서 제거가능한 불연속성을 가진다.
점프 불연속(Jump Discontinuity)
반대로 2의 조건을 만족하면서, 1의 조건을 만족하지 않을 때는 아래와 같은 Jump Disconinuity를 볼 수 있다. 이 경우, 종합극한(Overall Limit)은 존재하지 않는다고 할 수 있다.
- lim f(x) [x -> a+] != lim f(x) [x -> a-]
- lim f(x) [x -> a] = f(a)
불연속성을 가진 그래프의 경우 f(a)가 그래프와 관련이 없는 위치에 있으므로, ‘x=a’에서 우연속성 또는 오연속성을 갖지 못한다. 따라서 ‘x=a’에서 위 두 그래프는 불연속적이다고 할 수 있다.
앞으로 할일:
오늘은 그래프의 연속성에 대해 정리해 보았다. 종합극한(overall limit)의 존재 유무를 판단하기 위해서는 연속성의 확인을 필수적이다. 따라서 극한을 제대로 알기 위해서는 연속성의 성질을 알아야한다고 말할 수 있다.
극한과 마찬가지로 연속성은 오늘 정리한 내용이 끝이 아니다. 다음에 배우게될 연속성의 더 많은 내용들을 시리즈로 이어나갈 생각이다. 연속성이라는 말처럼, 수학에서도 이제 미적분을 배우게된다면, 이 성질에 대한 내용이 연속적으로 이어질 것이다. 미적분을 분석할 때 그래프를 많이 활용하는데, 그래프로 보는 모든 것들은 연속성에서 자유로울 수 없기 때문이다.
수학에서는 매우 많은 규칙들이 존재하지만, 이러한 기본적인 룰을 인지하고 있다면, 그 어떤 문제도 단순화시킬 수 있다. 결국 큰 문제도 작은 문제들의 집합이기 때문이다. 이러한 규칙들도 보다보면 큰 그림에서는 몇 가지 공통점을 발견할 수 있다. 사실 그러한 공통점도 논리적으로 생각하면 매우 상식적인 것들이다. 결국, 모든 것들은 단순화시킬 수 있다고 믿는다. 기본적인 것을 제대로 인지한다면, 풀지못할 문제는 없다고 생각한다. 앞으로도 그러한 믿음으로 수학을 대하고, 바라볼 생각이다.
연속성을 통해 극한에 대한 더 깊이있는 이해를 할 수 있었고, 덕분에 극한을 큰 그림에서 더욱 단순하게 바라볼 수 있었다. 나의 지식이 조금 더 깊어졌을 뿐만 아니라 넓어지기도 한 것을 느낀다. 앞으로도 수학을 통해 더욱 깊고 넓어질 내 식견을 기대하면서, 오늘의 수학기를 마친다.
참조:
(1) https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/continuity.aspx
(2) https://math.stackexchange.com/questions/1159113/find-the-x-value-at-which-f-is-discontinuous-graph
(3) https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%88%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%A0%90%EC%9D%98_%EB%B6%84%EB%A5%98
