배우는자의 수학기 — 종합연속성(Overall Continuity)
연속성의 연속..
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오늘 한일:
어제는 함수 및 그래프의 연속성(continuity)에 대해 다루었다. 연속성에 대한 학습을 진행하고 느꼈던 것은, 이 개념이 극한(limit)의 개념과 매우 관련이 깊다는 것이다. 두 개념은 결혼을 했다고 생각해도 좋을 만큼 하나를 제외하고 생각하기 어려웠다. 함수의 특성을 규정짓기 위해서는 함수가 연속적인지에 대한 분석 뿐만아니라, 함수의 한계값이 무엇인지를 알아야하기 때문이다.
하지만, 극한에 상관없이 모든 ‘x’의 범위에서 연속성을 갖는 함수를 예측할 수는 없을까? 즉, 모든 경우에서 연속성을 가지는 경우는 무엇일까? 특정한 ‘x’의 범위에서 그 극한이 특정한 숫자로 규정지어 질 수 없는 경우에는 함수가 완전한 연속성을 가진다고 말할 수 없을까? 오늘은 이러한 질문들에 답을 해보고자한다.
종합연속성(Overall Continuity)
함수 f(x)가 ‘x’의 모든 범위에서 연속성을 가지려면 어떤 조건을 만족해야할까? 간단하게 말해서, ‘x’의 모든 범위에서 함수 f(x)가 실수로 존재할 수 있으면 된다. 예를 들어 아랴와 같은 함수들을 보자.
- f(x) = 3
2. f(x) = sin(x)
3. f(x) = 1/(x²+1)
1번 함수의 경우 x값이 무엇이든 항상 f(x)는 3이 될 것이다. 그러므로, 1번 함수는 종합연속성을 가진다. 2번 함수 역시 ‘x’값이 무엇이든 파도와 같은 sin 그래프 내에서 반드시 -1과 1사이의 값으로 변화할 것이므로, 역시 종합연속성을 가진다. 마지막으로 3번 함수는 분모가 ‘0’이 될 경우, 종합연속성을 가질 수 없지만, 분모인 (x²+1)이 0이 될 경우는 없으므로, 역시 종합연속성을 가진다.
그렇다면 반대로, 종합연속성을 갖지 못하는 즉, 특정 ‘x’값에서 연속성을 갖지 못하는 경우는 무엇일까?
4. f(x) = 1/x
5. f(x) = tan(x)
6. f(x) = floor(x)
4번 함수는 분모가 ‘0’일 때 무한대가 된다. 무한대는 숫자가 아니므로, 이 함수는 ‘x=0’일때 연속적이지 못하다. 5번 함수인 tan(x)는 사실 (sin(x)/cos(x))와 같다. 이 경우, cos(x)가 ‘0’일때 연속성을 가질 수 없다. 마지막으로 floor(x) 바닥함수는, 바닥함수의 특성에 따라 모든 정수에서 불연속성(discontinuity)를 가진다. 따라서, 위 4~6번의 경우들은 모두 불연속성을 가지고 있어, 모든 ‘x’값에서 연속적이지 못하다. 즉, 4~6 함수들은 종합연속성을 가지고 있지 않다.
그 밖에도, 아래의 경우는 일반적으로 모든 실수에 대해 f(x)가 종합연속성을 가지는 경우의 함수들의 예다.
- 다항식(polinomial): ax^n + bx^n-1 + …. c
- 큐브루트(cube root): (x)^(1/3)
- 절대값함수: |x|
- 지수함수(exponential): a^x, a > 0
모든 다항식 함수는 분모가 0이 될 가능성이 없으므로, 모든 실수에 대해 종합연속성을 가지낟. 큐브루트는 음수(-)에 대해서도 표현이 가능하기 때문에 역시 ‘x’의 모든 범위에 대해 실수의 값을 낼 수 있다. 절대값함수 역시 ‘x’의 모든 값에 대해 양수를 리턴하기 때문에, 모든 영역에서 연속성을 가진다. 마지막으로 a^x 로 표현되는 지수함수(exponential function)역시 ‘a’가 ‘0’보다 큰 경우, 모든 ‘x’의 실수 값에 대해 실수의 결과를 도출 할 수 있다.
반대로 종합연속성을 갖지 못하는 즉, 특정한 ‘x’의 범위에서 연속적이지 않은 함수는 어떤 것들이 있을까?
- 스퀘어 루트(sqaure root): (x)^(1/2), x≥0
- log함수(log(a)x), a > 0, x >0
스퀘어 루트의 경우, 음수(-) 값을 입력할 수 없으므로, ‘x’가 ‘0’보다 작은 범위에 대해서는 실수로 그 결과를 표현할 수 없다. 또한, log함수 역시, 베이스인 ‘a’와 입력값인 ‘x’가 음수나 ‘0’이 될 수 없으므로, 마찬가지로 ‘x’가 ‘0’보다 작은 범위에서는 정의될 수 없다. 따라서 위 두 함수는 종합연속성을 갖지 못한다.
앞으로 할일:
오늘은 함수가 어떠한 경우에 완전한 연속성 즉, 종합연속성을 갖는지에 대해 알아보았다. 함수의 성질을 알고있으면, 굳이 모든 ‘x’의 범위를 가정해 일일히 계산해 보지 않아도, 그 함수가 연속성을 가지는지를 알 수 있는 것이다. 오늘 기회를 통해 어떠한 경우에 함수가 정의될 수 없는지 즉, 특정한 ‘x’값에 대해 실수의 출력값을 낼 수 없는지에 대해 확실히 알 수 있었다.
연속성의 개념은 그래프가 사용되는 한은 쓸모없을 날이 없지않을까하는 생각이든다. 앞으로도 계속 나타날 연속성의 또다른 신비를 발견하기를 기대한다.
참조:
