새로운 배움 — Lock-in Amplifier를 제대로 사용하기 — Part 7

8 min readApr 15, 2024

올바른 Low-pass 필터를 정하는 법

최적화된 Low-pass Filter를 설정하는 것은 신호 측정에 있어 매우 중요하다(1).

복조 과정에서 필터링은 원하는 주파수 컴포넌트를 남기기 위해 매우 중요한 부분이라고 배웠다. 그렇다면 이상적인 필터를 설정하기 위해서는 어떻게 해야할까? 이번 시간에는 이러한 필터링 적용시 가장 널리 활용되는 Lowpass Filter을 최적화하는 방법에 대해 알아본다.

올바른 Lowpass 필터 설정하기

신호 측정 과정에서 필터가 중요한 이유는, 이 것이 측정 Bandwidth와 잡음을 정하기 때문이다. 이전 글에서 다루었던 것처럼 Lowpass 필터는 아래 2가지 매개변수에 의해 그 성능이 좌우된다. 첫 번째는 Bandwidth이고, 그 다음이 Order이다.

Bandwidth

Bandwidth는 신호의 세기가 2분의 1로 줄어드는 지점인 Cuttoff Frequency를 결정하고, 이는 시간 상수(τ)에 반비례한다. Bandwidth가 낮을수록 SNR을 증가시킬 수 있지만, 측정 시간이 늘어난다.

Bandwith가 낮을 수록 SNR이 증가하지만 측정 시간이 늘어난다(2).

차원(필터 개수)

차원(n)은 얼마나 같은 타입의 필터가 Cascaded되었는지를 말한다. 차원이 높을수록 SNR을 증가시킬 수 있지만, 안정화 시간이 늘어나 측정 시간이 늘어날 수 있다.

Application 예제

이미지 스캐닝

아마 실제 어플리케이션 예제를 통해서 어떻게 적절한 필터를 설정할 수 있는지에 대해 조금 더 용이하게 알 수 있을 것이다. 먼저 측정 시간이 중요한 이미지 스캐닝에서는 픽셀 시간 최적화(Pixel Dwell Time Optimization)가 중요할 수 있다. 이 경우, 아무래도 SNR을 높게 가져가는 것 보다는 측정 시간을 짧게하는 것이 조금 더 중요할 수 있다.

그렇다고해서 SNR을 너무 낮게 가져가면 측정 결과의 신뢰성이 떨어지므로, 이 경우 적절한 값을 필요에 따라 찾는 것이 중요할 것이다. 아래 그림은 필터의 차원에 따라 변화하는 Step Response를 보여주는데, 차원이 높을수록 최종 갚에 도달하는 시간이 짧고 작을 수록 시간이 길어짐을 알 수 있다.

만약 71%의 정확도로 측정을 하고 싶다면 가장 좋은 경우는 n = 1인 것을 알 수 있다. 해당 시점에서 안정화 시간이 가장 빠르기 때문이다. 95%라면 n = 2가 이상적이며, 99%에는 n = 3이 이상적인 것을 알 수 있다. 그 보다 더 높은 정확도는 물론 더 높은 차원으로 가능하지만, 99%가 넘어가는 순간 정확도가 증가하는 폭이 점점 줄어드는 것을 볼 수 있다.

마지막으로 측정 시간 정보에 기반해 필터의 Bandwidth을 계산한다. 위에서 활용한 테이블 정보 역시 활용해 가장 이상적인 차원을 선택한다. Filter Order Factor(FO), Acurracy Factor(AF) 및 시간 정보를 활용해 Bandwidth 주파수를 계산한다. 시간 상수는 주어져있다.

측정 시간, Filter Order Factor(FO), Acurracy Factor(AF)를 활용해 Bandwidth를 계산한다(2).

복잡한 스펙트럼 배경(Complex Spectral Background)

만약 복잡한 스펙트럼을 가진 환경에 있다면, 주파수 영역에서 필터 변수들을 고려해야한다. 이때, Bandwidth는 모든 스펙트럼 컴포넌트 를 측정할 수 있도록 충분히 넓어야하지만, 그와 동시에 과도한 잡음을 피할 수 있도록 최적화되어야한다.

모든 스펙트럼 컴포넌트를 측정할만큼 넓고, 과도한 잡음을 피할 수 있을 정도로 최적화되어야한다(2).

10Hz에서 진폭 변조(Amplitude Modulation, AM)된 신호를 관찰하고 싶다면, 이를 커버할 수 있을 정도의 충분한 폭의 Bandwidth가 필요할 것이다.

진폭 변조된 신호를 얻기 위해 충분한 폭의 Bandwidth 필요(2).

만약 원하는 신호 주변에 원하지 않는 컴포넌트가 존재한다면, 측정에 영향을 줄 수 있으므로, 이를 조정할 수 있도록 필터의 차원을 조정한다. 더 높은 차원을 선택한다면, 더 높은 Bandwidth를 갖더라도 원하지 않는 컴포넌트를 억제할 수 있다.

차원을 높이면서 Bandwidth를 늘리면 원하지 않는 컴포넌트를 억제할 수 있다(2).

또한 더 높은 차원의 필터는 같은 Bandwidth에서 더 높은 SNR을 제공하지만, 동시에 측정 시간을 늘릴 수 있다.

필터의 차원이 높을수록, Bandwidth가 같더라도 SNR이 높지만, 측정 시간도 늘어난다(2).

주의할 점

몇몇 어플리케이션에서는 더 높은 필터 차원을 선택하는 것이 더 좋지 않을 수도 있다. 예를 들어서 Feedback Loop를 갖는 시스템에서는 더 높은 차원의 필터가 신호의 전파 지연 시간(Signal Propagation Delay)를 유발할 수 있다. 이는 PLL에서 위상 추적(Phase Tracking)을 수행할 시에 Feedback Loop내에서 불안정성을 야기할 수 있다. 이 경우, 오히려 더 낮은 차원의 필터를 선택하는 것이 더 좋을 수 있다.

Feedback Loop에서는 더 낮은 차원의 필터를 선택하는 것이 더 좋을 수 있다(2).

저복조주파수(Low-Demodulation Frequency)를 활용할 때도 주의가 필요하다. 이 경우, 상대적으로 좁은 필터 Bandwidth라도 DC 컴포넌트나 고조파(Harmonics)의 누설(leakage)을 발생시킬 수 있다. 이 컴포넌트들이 충분히 억제되지 않을 수 있기 때문이다. 이러한 상황을 막기 위해서는 더 높은 차원의 필터를 선택하는 것이 필요하다.