배우는자의 수학기 — 극한(limits)
극한(limit) 수학…
#극한, #수학, #limit
오늘 한일:
이제 새로운 일에 도전하게 되었다. 반도체 분야에서 소프트웨어 관련 일을 하게 되었다. 그래서 프로그래밍을 다시 공부해야겠다는 생각이 들었다. 나는 올해 4월까지 진행한 데이터 사이언스 부트캠프를 회고해 보았다. 당시 나는 프로그래밍 자체보다는 첫 3개월 정도 수학적인 개념을 잡는데에 더 집중했다. 데이터를 처리하고 분석하는 과정에서 매우 많은 통계학적 개념이 활용되었기 때문이다. 평균값, 중간값 등 아주 기본적인 통계의 개념에서부터, 고유값(Eigenvalues)을 활용하는 3차원 이상의 매트리스 기반 수학을 배우면서 대학 시절 배웠던 것들이 떠올라 즐겁게 공부했던 기억이났다.
그런 생각을 하고나니, 내게 필요한 것은 어쩌면 프로그래밍 언어 자체보다는 논리적으로 사고할 수 있는 능력이지 않을까하는 생각이들었다. 프로그래밍은 언어를 배우는 것도 중요하지만, 더 중요한 것은 배운 언어를 어떻게 사용해야 할지를 아는 것이기 때문이다. 논리적으로 사고할 수 있는 능력을 기르는 가장 좋은 방법은 수학적인 사고를 하는 것이다. 수학적인 사고를 하려면? 당연히 수학을 배우는 것이 가장 좋은 방법일 것이다. 그래서 나는 오래전부터 언젠가 수강하기로 마음먹었던 과정에 등록했다. Edx에서 제공하는 MIT Differential Calculus과정이었다.
내가 가장 처음 배우기 시작한 내용은 극한(Limit)에 대한 내용이었다. 대략적으로 이야기 하자면, “‘x’값이 ‘a’에 가까워지면 ‘f(x)’는 어디로 향하는가?”에 대한 질문에 답을 하는 학문이라고 할 수 있다. “x”의 변화에 따른 “f(x)”의 변화 특성을 표현하려는 것이다. 그렇다면, 수학에서는 극한(limit)을 어떻게 정의하고 있을까?
극한(Limit)의 정의
0보다 큰 모든 값’ε’(ε > 0)에 대해, ‘δ > 0’가 존재하여, ‘0 < |x — a| < δ’가 사실이면, ‘|f(x) — L| < ε’가 성립하며, lim f(x) [x->a] = L로 표현될 수 있다.
조금 어려운 말로 느껴진다. 풀어보자면 다음과 같이 설명할 수 있을 것이다. ‘y’와 ‘z’사이의 거리가 ‘|y-z|’라 한다면, f(x)에서 L까지의 거리는 ε보다 작다는 의미가된다. ε는 작은 거리를 표현한다고 볼 수 있다. 이러한 거리가 나타나는 것은 ‘0 < |x-a| < δ’ 조건을 만족하기 때문이며, 이는 x가 a에서 δ 사이의 거리내에 있다는 의미다(거리가 0이면 그렇지 않을 수 있다. x=a인 경우는 상관하지 않는다.).
“모든 값"과 “존재하다"는 말의 의미는 이 거리가 얼마나 작아질 수 있는가와 관련이 있다. 우리가 원하는 것은 f(x)가 충분히 작아져 L값에 가까워지는 것이다. 그러므로 이 조건은 ‘ε’가 얼마나 작아지느냐에 상관없이, 반드시 만족되어야하는 것이다. x가 a값에 충분히 가까워졌다면, ε값이 어떤 것이 주어지더라도, ‘|f(x) — L| < ε’의 조건을 만족시킬 수 있다. 얼마나 가까운지에 대한 측정은 δ로 표현된다.
종합한계(Overall Limit)
극한은 왼쪽(left-hand)에 존재할 수 있고, 오른쪽(right-hand)에도 존재할 수 있다. 두 극한은 같을 수도 있지만, 다를 수도 있다. 또한, 극한값자체(x = a)일때의 f(x)값은 각 극한 값과 다를 수도 있다. 그러므로, 하나의 함수가 양쪽에서 극한에 접근할 때에 같은 값으로 향해야만 종합한계(Overall limit)가 존재할 수 있다. 즉, 아래와 같다.
x가 a에 가까워짐에따라, f(x)가 L에 양쪽에서 가까워진다면, f(x)의 극한(limit)이 존재하며, 그값은 L로 볼 수 있다.
즉, lim f(x) [x -> a+] = lim f(x) [x -> a-] = L이라면,
lim f(x) [x -> a] = L,
다시말해,
x -> a 일수록 f(x) -> L 인 것이다.
여기서 주의할 것은 x = a 일때, f(a) = L는 아니라는 것이다. 실제 f(x=a)는 극한의 조건에 따라 정해지지 않으며, 실제 함수에 값을 넣어 계산해보아야 알 수 있다.
그렇다면 위 예제를 통해 극한을 알아보자. 먼저 위 그래프에서 x -> 5-로 갈수록, 즉, x가 왼쪽에서 5로 접근할수록, f(x)의 극한은 4가 된다. 또한 이 극한이 검은 점으로 표현되어 있으므로, x = 5일때 f(x)의 값은 극한의 값인 4인 것을 알 수 있다. 그러나 x -> 5+일때, 즉 x가 오른쪽에서 5로 접근할때에는 f(x)의 극한은 6이된다. 그러므로 이 경우 종합극한은 존재하지 않는다.
- lim f(x) [x -> 5-] = 4
- lim f(x) [x -> 5+] = 6
- f(x = 5) = 4
그러나 반대로 x -> 13-일때, f(x)의 극한은 2이며, x -> 13+일때에도, f(x)의 극한은 2가된다. 이 경우는 양쪽 극한이 같기 때문에 종합극한이 존재한다고 볼 수 있다. 즉, x -> 13 일때, f(x)의 극한이 2라고 말할 수 있는 것이다. 그러나, 주의할 것은 x = 13일때에는 종합극한의 값과 같지 않은 것을 알 수 있다. 검은색 점이 다른 곳에 위치해 있기 때문이다. 즉, x = 13 일때에는 f(x)의 값이 3인 것이다.
- lim f(x) [x ->13-] = 2
- lim f(x) [x -> 13+] = 2
- lim f(x) [x -> 13] = 2
- f(a = 13) = 3
마찬가지로 x -> 18일때에도 양쪽 극한이 같은 값으로 접근하는 것을 볼 수 있으므로, 이 때에도 f(x)의 종합극한이 존재하며 그 값은 5인 것을 볼 수 있다. 여기서는 검은 점이 없으므로, f(x = 18)의 값은 존재하지 않는다.
- lim f(x) [x -> 18-] = 5
- lim f(x) [x -> 18+] = 5
- lim f(x) [x -> 18] = 5
앞으로 할일:
오늘은 극한에 대해서 배워보았다. 이 부분은 앞으로 배우게될 미적분의 기초가 되기 때문에 매우 중요하며 반드시 알아가야 하는 내용이기도하다. 다행히도 대학시절 배운것을 잊어버리지 않은 탓인지, 이 내용을 습득하는 것은 그리 어렵지 않았다. 매우 재미있었고, 또 앞으로 배울 것들이 기대된다.
이 글의 첫 부분에서 한계라는 것이 “‘x’가 특정값에 접근할수록, ‘f(x)’의 값은 어디에 가까워지는가?” 즉, “‘x’가 특정값에 접근할수록, ‘f(x)’의 특성은 어떻게 변화하는가?”라는 질문에 대답하는 것이라고했다. 이 질문은 어떻게 보면 철학적이다. 나의 삶이(x)가 특정한 목적(a)에 도달할수록, 나는 어떤 결과(f(x))를 맞이하게될까? 수학으로 표현되는 수식에서는 그래프를 그리면 그 결과가 어느정도 예상되지만, 삶은 명확한 수식으로 표현할 수 없으니, 무슨 결과를 만나게 될지 모르니 나의 극한이 어디인지 알기힘들다. 그저 나의 경험과, 다른 사람의 경험을 참조하여 대략적으로 그려보고, 그 극환을 예상할 뿐이다. 그 예상된 극한이, 실제 목표에 닿았을 때의 결과와 같기를 바라면서…
나는 어느 방향에서 나의 목적으로 가고 있는 것인지, 나의 운명은 반대에서 같은 목적으로 향하고 있는 것인지, 그렇게 나의 종합극한이 존재하는 것인지, 또한 내가 그 목적에 닿았을 때, 그 결과는 내가 예상하는 극한에 있는지, 아니면 전혀 다른 곳에 존재하는지 등등, 수학을 배우면서 이상하지만 흥미로운 생각을 해보게 되었다.
예제를 통해 학습을 하면서 본 그래프에 빈 공간이 메워지지 않고, 서로 끊어지고 어긋난 선들을 보니, 아름다워 보이지 않고 매우 답답한 느낌을 받았다. 왜 그래프가 하나로 합쳐지지 않고 저렇게 따로 노는 경우가 존재하는 것일까?
그러면서 이런 생각을 해본다. 과연 나의 새로운 기회는 나를 어디로 이끌까? 저번처럼 예상된 종합극한과 목적에서의 결과값이 일치하지 않을까? 아니면 이번에는 나의 예상과 내 삶의 결과가 일치하는 현상을 보게될까? 내가 향하는 목표에 나의 운명도 똑같이 향하기를 바라며, 이번에는 빈점하나 없는 깨끗한 삶의 그래프를 보고싶다. 그러한 마음으로 수학을 다시 배우면서, 이번에는 빈틈없는 아름다운 그래프를 그리기 위해 노력하겠다.
참조:
(1) https://calcworkshop.com/limits/finding-limits-graphically/
(2) https://www.dummies.com/wp-content/uploads/9781119357483-fg0302.jpg
