새로운 배움 — Lock-in Amplifier 제대로 사용하기 — Part 3

Boxcar 평균기(Averager)에 대해 알아보자

Lock-in Amplifier의 또 다른 마법(2).

이전 글에서 Lock-in Amplifier를 활용할 수 있는 예제 중 PID Controller에 대해 다루었다. 요약하자면 이 기술은, P, I, D라는 비율 및 미적분의 개념을 차용하여 출력 부분과 선택된 부분의 신호 차이를 비교해 연산된 에러 신호를 바탕으로 둘 사이의 차이를 최소화하도록 제어 신호를 생성한다. 일상생활에서 제어가 필요한 분야에 널리 쓰이며, 자동차 속력 조절, 온실내 온도 조절 등에 활용된다. 이 기술에 Lock-in Amplifier를 통해 복조(Demodulation)된 신호를 입력 신호로 활용해 더 높은 제어 성능을 얻을 수 있다.

Lock-in Amplifier가 활용되는 것이 PID 제어기만은 아닐 것이다. 또 하나 장비가 널리 사용되는 기술 중 하나는 Boxcar Averager라는 것이다. 과연 이 기술은 무엇이고, Lock-in Amplifier가 어떻게 활용될 수 있는지 알아보자.

Boxcar 평균기(Averager)

시간 영역(Time Domain)에서의 이해

Boxcar 평균기 개념을 본격적으로 다루기 전에 알아야할 것이 있다. 대부분의 어플리케이션, 예를 들어 pump-probe spectroscopy에서는 짧은 주기적 펄스(short periodic pulses)가 정보를 담고있는 경우가 많다. 신호 자체의 주기(Tp)와 신호와 신호 사이의 주기(Trep)을 바탕으로 duty cycle을 계산할 수 있는데, duty-cycle이 작은 경우, 이러한 신호를 Low-duty-cycle 신호라고 한다.

신호 자체의 주기(Tp)와 신호 사이의 주기(Trep)을 바탕으로 duty cycle을 계산한다(2).

위 신호를 보고 알 수 있는 것은, 최대한 실제 정보가 담긴 펄스 만을 캡쳐하고, 최대한 Trep 동안에 나타나는 노이즈들은 제거하는 것이 좋다는 것이다. 바로 이 것이 Boxcar 평균기가 하는 일이다.

Boxcar 평균기는 정의된 일시적 윈도우(Window) 내에서 나타나는 신호들을 캡쳐하여 그 사이에 있는 잡음을 제거하는 역할을 한다. 이 윈도우는 신호를 감지하는 역할을 하는데, 따라서 원하는 신호가 들어갈 만큼의 크기의 윈도우를 설정하는 것이 정확한 측정을 위해 중요한 관건이다.

원하는 신호를 정확히 측정할 수 있는 크기의 윈도우를 설정하는 것이 중요하다(2).

Boxcar 평균기 역시 신호 추출 성능을 측정하는 일반적 지표인 신호 대 잡음비(SNR)을 적용할 수 있다. 이를 증가시키기 위해, 결과물의 N 주기 동안의 평균을 계산할 수 있다. 따라서, Boxcar 평균기의 성능을 결정하는데 있어 가장 중요한 2가지는 Boxcar Window의 크기와 평균을 계산할 N 주기이다.

Window 크기와 평균을 계산할 N 주기가 성능의 주요 관건이다(2).

가우시안 펄스(Gaussian Pulse)를 통해 이 두 가지 변수가 측정 성능에 어떠한 영향을 미치는지 알아보자. 일차적으로, 추출된 신호는 윈도우 크기와 함께 전체 펄스 정보가 수신될 때까지 커진다. 그러나 윈도우의 크기만큼 신호외의 잡음 역시 추출하기 때문에, 잡음을 최소화하면서 펄스의 모든 정보를 수신할 수 있도록 윈도우 크기를 최적화하는 것이 중요하다. 수신되는 잡음은 윈도우 크기의 Square Root(Sqrt(Window Width))만큼 증가하는 성질을 보인다. 따라서, SNR을 최적화하려면 신호가 모두 수신됨과 동시에 잡음이 최소화되는 지점의 윈도우 크기 값을 선택해야한다.

윈도우 크기와 함께 전체 펄스 정보가 수신될때까지 진폭이 증가하다가 수렴한다(2).

Sqrt(Window Width)만큼 잡음이 수신된다(2).

펄스가 모두 수신되면서 잡음이 최소화되는 지점의 윈도우 크기값을 선택한다(2).

평균 계산 주기인 N 역시 SNR에 영향을 주는데, 수식상에서 보면 알 수 있다. 아래 에서 신호(s)가 N에 선형 비례하고, 노이즈(n)은 N의 Square Root(Sqrt(N))에 선형 비례한다는 것을 알 수 있다. 수식을 좀 더 단순화해보면 결국, SNR이 N의 Square Root(Sqrt(N))에 비례하는 것을 알 수 있다.

수학적으로 결국 SNR은 N의 Square Root(Sqrt(N))에 비례한다(2).

또한 N 주기는 시스템의 일시적 응답(Temporal Response)에도 영향을 주는데, 아래와 같이 입력 신호와 같은 진폭에 N 주기 이후에 도달하게 된다. N 주기 동안은 선형으로 진폭 값이 증가하는 것을 알 수 있다. 결국, N주기를 SNR을 증가시키기위해 너무 크게 잡으면 측정 속도가 느려질 수 있다는 것이다. 따라서 실험 조건에 따라 측정 속도와 SNR을 최적화할 수 있는 N 값을 설정하는 것이 중요하다고 볼 수 있다.

N 주기 이후 Boxcar 평균기의 결과가 입력 신호의 진폭에 닿는다(2).

주파수 영역(Frequency Domain)에서의 이해

주파수 영역에서의 Boxcar 평균기는 cos 함수의 합으로 표현될 수 있는데, 각 cos 함수는 반복률(Repetition Rate)의 고조파(Harmonics)와 같다고 볼 수 있다.

주파수 영역에서의 Boxcar 평균기는 cos 함수의 합으로 이해할 수 있다(2).

주파수 영역에서의 조금 더 구체적인 이해를 위해, 아래 Spectral Response의 경향을 확인할 수 있다. Boxcar 평균기는 주파수 영역에서도 선택된 주파수 범위내 신호를 추출하고 그 이외의 부분들은 제거한다. 각 부분의 미적은 sinc 함수로 이해될 수 있다. 보이는 것처럼, 신호 자체의 주기(Tp)는 duty-cycle과 선형 비례하며, 반복주기(Trep)는 반대로 반비례한다. 이 것은 duty-cycle이 작을수록, 신호에 더 많은 고조파가 영향을 줄 수 있다는 의미다.

duty-cycle이 작을수록 신호에 더 많은 고조파가 영향을 줄 수 있다(2).

왼쪽의 입력 신호에 대해서 발생한 우측의 Spectral Response를 보면 d = 0.1일때, 본래 신호의 내용과 일치하는 것을 알 수 있다. 특정 주파수 영역에서 분산되어있는 신호 정보를 Boxcar 평균기가 상당히 정확하게 추출하는 것을 알 수 있다.

d = 0.1일때 Spectral Response가 입력 신호와 매우 정확하게 일치하는 모습을 볼 수 있다(2)

추가적으로, 위 필터 함수는 신호의 DC 진폭 정보도 추출하기에, 일부 DC Offset이 발생할 수 있다. 이때에는 시간 영역에서 Shift된 참조 윈도우를 활용해, 추출된 정보를 Boxcar 평균기 연산 결과와 차를 구하는 방식으로 DC Offset을 제거할 수 있다. 이러한 참조 윈도우를 활용하면, 측정시 발생할 수 있는 DC Offset에러나 잡음을 제거할 수 있기에 측정 결과의 신뢰성을 높일 수 있다.

DC Offset은 또 하나의 Shift된 참조 윈도우를 활용해 차를 구해 제거할 수 있다(2).

결론

• Boxcar 평균기는 시간 영역에서 직사각형의 윈도우 함수로써, 윈도우 크기와 평균을 계산하는 주기 N에 따라 성능이 결정된다.
• Spectral Response는 신호의 반복률(Repetition Rate)주파수인 frep에서 발생하는 고조파의 합으로 표현되며, sinc 함수가 Envelope이 될 수 있다.
• Temporal Response는 선형 시간 응답(Linear Time Response)를 말하며, 평균기의 출력값은 N 주기 동안 선형으로 증가하고 N 주기 시점에서 안정화된다.

참조:

(1) https://pixabay.com/photos/christmas-market-advent-market-fair-6849578/

(2) https://www.youtube.com/watch?v=eiUZ0BO_atU&list=PLjxUCNDRYw8kxOZkD9gTaEmXRFlqDr6Fw&index=4