새로운 배움 — Lock-in Amplifier 제대로 사용하기 — Part 9
주파수 범위(Bandwidth)의 중요성
이전 글에서 Lock-in Amplifier내 신호 처리의 기본에 대해 다루었다. 간략히 리뷰하자면, 일반적으로 복조(Demodulation) 과정을 거치는데 이때 Mixing 및 Lowpass Filter를 통해 복조된 신호를 최종적으로 극좌표(R, Theta)로 변환시킨다.
Lowpass Filtering을 적용할 때, 원하지 않는 고주파수의 신호를 걸러내기 위해서 적절한 Filtering 범위를 설정하는 것이 중요할 것이라는 생각이 들었다. 단순히 필터링 과정을 위해서만이 아니라, Bandwidth라는 개념은 디지털 신호 처리에 있어 매우 중요한 개념이다. 신호 측정의 효율성과 SNR을 높이는 열쇠가 이 개념에 숨어있기 때문이다.
그렇다면 신호의 Bandwidth라는 개념에 대해 조금 더 자세히 알아볼 필요성이 있지 않을까? 이번 글에서는 이 주제에 대해 다뤄보기로한다.
신호 Bandwidth
신호의 Bandwidth는 이론적으로 측정하고자하는 신호의 가장 높은 주파수 컴포넌트를 말한다. 일반적인 현실세계의 신호에서 Bandwidth는 Cut-off 주파수라는 것에의해 정의될 수 있다. Cut-off 주파수(BW = f-3dB)란 시스템의 전달 함수(Transfer Function)가 DC 신호를 기준으로, 3dB 감쇠(2분의 1로 신호 세기가 감소하는 지점)이 어딘지를 말해준다. 즉 Cuf-off Frequency와 같은 값을 갖는 Bandwidth는, 신호의 동적인 성질이나 신호의 분리를 이야기할 때 사용한다. 예를 들어 PLL이나 이미징 어플리케이션과 같은 활용케이스나, 혹은 신호들의 주파수가 서로 너무 가까워 분리가 필요한 경우, 신호의 진폭이나 위상이 빠르게 변화하는데, 이때 Bandwidth의 개념이 많이 활용되어 설명된다.
아래 그림에서 표현되는 잡음과 비등한 전력 Bandwidth(Noise Equivalent Power Bandwidth, NEPBW)또한 이 개념을 이해하는데 있어 유용하다. 일반적으로 잡음의 측정에 활용되는 개념인데, 곡선 아래 영역의 넓이를 구하는 것으로 Lowpass Filter를 지나는 전력의 총합을 구할 수 있다. 현실적인 이유로, 잡음이 거의 없는 평평한 상태의 스펙트럼 밀도(Spectral Density)를 가정한다면, 가장 이상적인 형태의 Brick-wall Filter를 정의할 수 있다. 이러한 Brick-wall 필터는 완전한 DC에서 NEPBW까지의 주파수 범위내 1의 전달 팩터(Transmission)을 갖는다. 오랜지색과 파란색 영역은 서로 선형 스케일(Linear Scale)이 똑같다.
또한 필터의 기울기(Roll-off)만을 통해서 Cut-off 주파수와 NEPBW 주파수의 관계를 표현할 수 있다. 필터의 기울기가 필터내 정의된 시간 상수(TC)에 의해서만 변화하기 때문에, 이 시간 상수에 비례하는 관계를 정의할 수 있다. 더 높은 차원의 필터에서는 차원이 낮은 필터에 비해 Cut-off 주파수가 NEPBW 주파수와 더 가깝다는 것을 알 수 있다.
시간 상수란 시간 영역에서 필터의 응답을 예측할 수 있는 파라미터로써, 최종값의 특정 비율(%)에 도달하기까지 걸리는 시간을 말한다. 아래 수식은 Lowpass Filter의 시간 상수가 Bandwidth(Cut-off Frequency)에 반비례함을 보여준다.
FO는 필터의 기울기에 따른 Factor를 말한다. 이 Factor를 포함해 여러 필터의 Factor 매개변수들은, 필터의 차원 및 기울기NEPBW 주파수와 Cut-off 주파수 등 필터를 정의하는 여러 매개변수와 비례한다.
참조:
(1) https://pixabay.com/photos/ships-sea-mountains-fjord-inlet-6073537/
