새로운 배움 — Lock-in Amplifier 제대로 활용하기 — Part 4

Lock-in Amplifier가 신호를 잡는 방법

Lock-in Amplifier가 신호를 어떻게 감지하는지 알아보자(1).

Lock-in Amplifier는 Lock-in Detection이라는 기법을 활용해 신호를 감지한다. 복조(Demodulation)를 통해서 신호를 처리한다고 이해했는데, 그렇다면 그 과정 전에 이 기술을 활용해 신호를 찾는다는 말인가? Lock-in Amplifier의 원리를 제대로 이해하기 위해서는 과연 이 것이 무엇인지 정확하게 이해해야겠다는 생각이들었다.

Lock-in Detection

Lock-in Amplifier의 목적

이전 글에서 계속해서 이야기해 온 것처럼, Lock-in Amplifier는 기본적으로 잡음이 존재하는 환경에서 참조 신호를 바탕으로 원하는 신호의 진폭과 위상 정보를 추출하는 것이 목적인 장비다.

찾고자하는 신호의 진폭과 위상 정보를 추출하는 것이 목적이다(2).

입력신호를 Lock-in Amplifier의 한쪽 입력 부분과 연결된, 테스트할 장비(DUT)에 주입하고 참조신호를 Lock-in Amplifier의 다른 한쪽의 입력 부분에 주입한다. 이 신호는 Sine 신호 생성기에 의해 만들어진 순수한 진동을 가지고 있는 주기적 파형 신호임을 가정한다.

테스트할 장비에 주입되는 입력신호와, 다른 한쪽에는 참조 신호를 주입한다(2).

이때, DUT를 지나는 입력신호와 Lock-in Amplifier에 직접 주입되는 참조신호는 아래와 같은 수식으로 표현될 수 있다.

두 신호는 수학적으로 위와같이 표현될 수 있다(2).

신호의 크기가 선명하고 클수록, Oscilloscope를 사용하지 않고도 시간 영역에서 직접 신호를 측정가능하지만, 신호의 크기가작고 주변 환경에 잡음이 많을수록 시간 영역에서의 측정은 어려워진다. 따라서, 신호를 정확하게 측정하기 위해서는 시간 영역에서 뿐만 아니라, 포리에 변환(Fourier Transform)을 활용해 시간 영역에서 주파수 영역으로 신호를 변환해 측정해야할 필요성이 생긴다. 바로 이러한 상황에서 Lock-in Amplifier의 기술이 정확한 신호의 측정을 가능하게 할 수 있는 것이다.

신호의 크기가 작을 수록, 잡음이 많을 수록 Lock-in Amplifier의 중요성은 커진다(2).

Lock-in Detection의 원리

다음에서 설명하는 Mixing과 필터링의 원리는 다른 말로 Phase-Sensitive Detection 혹은 복조(Demodulation)이라 일컫는다.

fs != fr

1. Lock-in Amplifier는 잡음이 섞여들어간 입력 신호와 참조 신호를 받는다.

Lock-in Amplifier는 기본적으로 입력 신호와 참조 신호를 받는다(2).

2. 다음으로 두 신호를 Mixer를 통해 곱한다. 이는 주파수 영역에서 조금 더 잘 이해될 수 있다. 두 신호가 sin 파형이면서 주파수 fs 및 fr을 가진다면, Mixing의 결과는 주파수 fs — fr과 fs + fr의 컴포넌트를 갖는다.

fs 주파수의 입력 신호와 fr 주파수의 참조 신호를 곱한 모습(2).

두 신호를 곱하면 fs-fr, fs+fr의 두 컴포넌트를 갖는다(2).

fs = fr

1. 그러나 대부분의 Lock-in Amplifier가 사용되는 어플리케이션은 입력 신호의 주파수 fs와 참조 신호의 주파수 fr이 같다. 따라서 이 주파수대의 신호를 Mixing하는 경우 아래와 같이 fs — fr = 0과 fs+fr = 2f만 남게된다. 주파수가 0일 때에는 완전한 DC 신호로 보기에, DC 컴포넌트와 2f의 AC 컴포넌트가 남는다는 의미다.

대부분의 어플리케이션에서 fs = fr이므로, 완전한 DC 컴포넌트와 2f의 AC 컴포넌트가 남는다(2).

2. 이후 DC 컴포넌트만을 남기기위해 2f 주파수 컴포넌트를 Low-pass Filter를 이용하여 제거한다. 필터의 성질을 결정하는 것은 Bandwidth와 필터의 차원(N-order)이다. 필터 Bandwidth, 즉 -3dB 지점은 Cutoff 주파수로써 신호의 세기가 2분의 1로 줄어드는 지점을 말한다. 이 Bandwidth는 시간 상수(time constant)에 반비례하는데, 너무 넓으면 측정 속도는 빨라지지만 2f 컴포넌트가 출력 신호에 영향을 줄 수 있어 잡음이 늘어나 신호의 SNR에 부정적 영향을 줄 수 있다. 반대로 Bandwidth가 너무 좁으면, SNR을 개선할 수 있으나 신호의 안정화 시간(Settling time)이 길어지므로 측정 시간이 늘어날 수 있다.

Bandwidth가 넓으면 측정이 빠르나, SNR이 악화될 수 있다(2).

Bandwidth가 좁으면 SNR이 높아지나, 신호 측정이 느려질 수 있다(2).

필터의 개수를 나타내는 차원 역시 SNR에 영향을 주는 요소이다. 필터의 차원이 높아질수록 Bandwidth 밖의 컴포넌트를 더 효과적으로 제거할 수 있는 전달 함수(Transfer Function)을 만들 수 있지만, Step Response 상에서 알 수 있는 것처럼 안정화 시간이 더 길어져 생기는 위상 지연(Phase Delay)현상 때문에 정확한 신호를 얻는데 더 많은 시간이 필요하다. 반대로 차원이 낮은 필터는 안정화 시간이 비교적 짧아 위상 지연이 덜하지만, Bandwidth 밖의 컴포넌트를 제거하는데 있어 더 비효율적인 전달 함수를 만든다.

필터의 차원은 필터링의 성능과 측정 시간에 영향을 준다(2).

Sine 이 아닌 다른 성질을 가진 신호에 대해서도 Lock-in 기법을 적용해 볼 수 있다. 이에 포리에 이론(Fourier Theorem)을 활용할 수 있다. 포리에 이론은 모든 주기적 신호는 무한대의 sin과 cos 함수로 이루어진 선형 독립적 함수의 합으로 표현될 수 있다고 정의한다.

입력 함수는 cos와 sin 함수의 합으로 표현될 수 있다(2).

아래와 같이 표현된 입력 신호 함수에 복조를 적용하면 선택된 주파수 f0을 중심으로 특정한 Bandwidth를 가진 필터를 적용해 나머지 고조파들은 제거하는 것과 같다. 이렇게하면 다른 모든 부분을 제거하고 해당 부분의 주파수 컴포넌트만 남게된다. 다른 모든 주파수 컴포넌트 부분의 평균은 0으로 수렴하기 때문이다.

복조를 적용한 후 한 주파수의 컴포넌트만 남는다(2).

3. 필터링 후 연산된 결과는, 한쪽에서 입력 신호와 본래 참조 신호의 Mixing 및 필터링 후에 만들어진 In-phase 컴포넌트(위 수식에서 cos 함수 부분)인 X와, 다른 한쪽에서 참조 신호를 90도 위상 Shift한 것과 입력 신호를 Mixing 및 필터링한 후에 생성된 Quadrature 컴포넌트(위 수식에서 sin 함수 부분)인 Y가 된다. 이후 이러한 (X,Y)의 Cartesian 좌표를 (R, Theta)의 극(Polar) 좌표로 변경하여 최종 결과물을 출력하게 된다.

Lock-in Amplifier는 복조과정 후 극좌표로 변환하여 결과물을 출력한다(2).

오늘날 대부분의 Lock-in Amplifier는 X,Y,R,Theta를 모두 Scaling factor나 offset을 가진 아날로그 신호, 혹은 소프트에어 상에서 저장 및 분석이 가능한 디지털 신호로 지원한다.

오늘날 Lock-in Amplifier는 대부분 4가지 신호를 아날로그 및 디지털로 지원한다(2).

좋은 Lock-in Amplifier의 특징

그렇다면 좋은 Lock-in Amplifier는 어떤 특징을 가지고 있을까? 물론 사용자 입장에서 최소한 주파수 범위와 최대 측정 Bandwidth를 사용자가 측정하려는 실험환경에 적절하도록 설정해야한다. 여기에 수행하려는 연구 및 실험 환경에 따라 추가적인 변수를 설정해 주어야하는데, 바로 이 지점에서 좋은 Lock-in Amplifier의 차이를 구분할 수 있다. 대표적으로 이전부터 계속 다루었던 Zurich Instruments 같은 회사가 아래에 설명되는 장점을 갖는 Lock-in Amplifier를 생산하고 있다.

입력 잡음(Input Noise)

계속해서 설명했다시피, SNR을 최적화하는 것은 Lock-in Amplifier를 사용하는 거의 모든 어플리케이션에서 가장 중요한 목표 중 하나이다. 모든 장비가 그렇듯 Lock-in Amplifier 역시 자체적으로 잡음을 발생시킨다. 따라서, Lock-in Amplifier 자체의 잡음 즉, 입력 잡음(Input Noise)이 모든 입력 Bandwidth에서 각각의 입력 주파수 범위에 대해 최소화될 필요가 있다.

아래와 같이 2.5 nV/sqrt(Hz) 의 입력 잡음을 갖는 Lock-in Amplifier가 100 Hz 주파수에서 1/f 컴포넌트를 갖는다면, 100 Hz 이상의 주파수에서는 잡음의 큰 영향 없이 입력 신호를 상당히 깔끔하게 주입할 수 있을 것이다.

Lock-in Amplifier는 기본적으로 자체 입력 잡음을 만들어 낸다(2).

Dynamic Reserve

다음으로 Dynamic Reserve 역시 Lock-in Amplifier의 성능을 가르는 중요한 개념이다. 이는 장비가 정확한 측정 결과를 내면서도, 얼마나 원하지 않는 부분의 주파수 컴포넌트를 효과적으로 제거하는지를 정량화한 지표이다. Dynamic Reserve가 아래와 같이 -120dB로 설정되어있다면, 1uV 신호당 1%의 정확도에 외란(Disturbance)가 최대 1V까지 확보된다. 120dB는 1uV에서 1V의 차이이기에 10⁶의 차이가 난다고 볼 수 있다.

-120dB의 Dynamic Reserve와 0의 외란(Disturbance)를 가진 장비를 가정하자(2).

1uV에서 1V의 외란이 확보되며 이는 10⁶의 차이라고 볼 수 있다(2).

두 개 이상 장비와의 연동 및 외부 프로그램과의 연동

마지막으로 여러 개의 측정 장비를 동시에 연동해 활용하려할 경우, 두 장비 사이의 위상이나 주파수 차이가 발생할 수 있는데, 이 둘을 동기화 할 수 있는 기능을 지원한다면 매우 우수한 Lock-in Amplifier라고 할 수 있다. 또한, 여러 장비를 사용함에 따라서 컴퓨터 소프트웨어 상에서도 시간 및 주파수 영역의 모든 입출력 신호에 대해, 복잡하고 세밀한 측정과 분석을 지원할 수 있어야한다.

또한 API를 지원하여 외부 프로그램과 연동할 수 있다면 더 다양한 실험 및 연구 목적에 사용될 수 있을 것이다. 일반적으로 MATLAB, LabView, C, C++, C#, Python 등 연구 목적으로 활용되는 모든 언어 및 프로그램에 대해 지원할 수 있어야하고, API를 통해서도 UI를 통해 사용자가 활용할 수 있는 기능을 모두 지원해야한다.

참조:

(1) https://pixabay.com/photos/beach-cove-sea-nature-side-5201818/

(2) https://www.youtube.com/watch?v=ZIjBRA2S0NQ&list=PLjxUCNDRYw8kxOZkD9gTaEmXRFlqDr6Fw&index=6